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FDTD方法

为什么要使用FDTD仿真软件?

虽然许多电磁仿真技术应用于频域,但FDTD能在时域中求解麦克斯韦方程。 这意味着电磁场值的计算以离散的时间步长进行。 时域方法的一个好处是,它从程序的一次执行中提供宽带输出;然而,使用FDTD方法的主要原因是,随着问题规模的增长,该方法具有出色的扩展性能。 随着未知数的增加,FDTD方法的效率很快就超过了其他方法。 FDTD方也被认为是对无线设备[1]的生物效应进行电磁模拟的首选方法。 FDTD方法被证明是最有效的方法,可以提供关于电磁波在野外穿透生物组织的情况的准确结果。

 

手机型号由摩托罗拉移动有限责任公司/联想公司提供。

 

简要总结 - FDTD仿真基础知识

在FDTD方法中,空间和时间都被分割成离散的部分。 空间被分割成盒状单元,与波长相比较小。 电场位于盒子的边缘,磁场位于面上,如图1所示。 字段的这种方向称为Yee单元[2,p. 37],是FDTD的基础。时间被量化为小步骤,其中每一步表示场从一个单元行进到下一个单元所需的时间。 给定磁场在空间中的偏移量与电场的偏移量,磁场相对于时间的值也是偏移量。 使用跳跃方案更新电场和磁场,即在每一步先计算电场,然后计算磁场。

图1:  带有标记字段组件的Yee单元

图1:  带有标记字段组件的Yee单元

当许多FDTD单元组合在一起形成一个三维体时,其结果是一个FDTD网格(grid)或网格(mesh)。 每个FDTD单元将与其相邻单元的边和面重叠,因此按照惯例,每个单元将具有三个电场,它们从与其关联的公共节点开始。 FDTD单元格的其他9条边的电场将属于其他相邻单元。 每个单元还将具有三个磁场,这些磁场起源于与电场的公共节点相邻的单元的表面,如图1所示。

在网格中,可以通过改变计算给定位置电场的方程来添加诸如导体或电介质等材料。 例如,为了将完美导线段添加到单元边缘,可以通过简单地将场设置为零来替换用于计算电场的等式,因为理想导体中的电场等同于零。 通过连接许多被定义为完美导电材料的端对端单元边缘,可以形成导线。 引入其他材料或其他结构的处理方法类似,每一种材料都可以根据材料的特性应用于电场或磁场。 通过将许多单元边缘与材料相关联,可以在FDTD网格内形成几何结构,如图2所示的介电球体。 图中所示的每个小方框代表一个FDTD单元。

图2:  在FDTD网格中网格化的电介质球。 各个单元边缘(电场位置)显示为重叠的网格线。

图2:  在FDTD网格中网格化的电介质球。 各个单元边缘(电场位置)显示为重叠的网格线。

 

单元尺寸,小盒尺寸,是任何FDTD仿真中最重要的约束条件,它不仅决定了时间步长,而且决定了计算的频率上限。 一般的经验法则是设置最小分辨率,也就是频率上限,即每个波长10个单元。 在实际应用中,为了解决要模拟的结构的尺寸和特征,例如基板的厚度或线的长度,单元尺寸通常小于此尺寸。

可以以许多不同方式将激励应用于FDTD仿真。 一种方法是将采样波形应用于一个或多个位置的场更新方程,模拟在离散位置激发几何图形。 在时间的每一步中,波形在这段时间内的值被添加到字段值中。 根据每个单元的特性,周围的字段将适当地在FDTD网格中传播引入的波形。 必须继续计算,直到达到收敛状态。 这通常意味着所有场值已经衰减到基本为零(从峰值起至少下降60dB)或已经达到稳态条件。

对基本Yee单元的改进

图1的方形Yee单元通常可以是矩形的。 x,y和z方向上的单元之间的间距可以在整个问题空间中变化。 这允许更多的单元边缘被放置在强场区域中,例如高导电材料的小特征周围。 在单元中,FDTD的标准更新方程可以通过多种方式进行改进,例如允许比单元更细的导线。 另一种改进可以允许物体的表面相对于主轴以任意角度与单元格相交。 这些“正形”单元可以进一步细化,以考虑单元内物体表面的曲率。

图3显示了移动电话某部分的几何形状。 为了清晰起见,包括外壳在内的许多部件的可见性已被关闭,以显示天线附近的区域。 手机的FDTD网格的一小部分使用简单的矩形单元显示如图4a所示。 在图4b中,显示出了电话网格的相同部分,这次使用了对包含对象表面某部分的单元的一种保形处理。 图5显示了保形网格表面较大视图。

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图3:  手机天线部分。

 

图4a:  使用简单的矩形网格显示天线角落的网格视图。

图4b:  天线角的网格视图与保形网格。

 

图5:  手机天线保形网格。

 

材料

FDTD仿真软件能够模拟各种电磁材料。 最基本的材料当然是自由空间。 所有FDTD单元都被初始化为自由空间,并且使用自由空间方程更新所有单元边缘处的字段,除非添加另一种材料来替换自由空间。

通过将位于这些材料内的任何单元边缘的电场或磁场设置为零来模拟完美导电和磁性材料。 由于这些材料的计算简单,在可行的情况下最好使用理想的导体而不是真实的导体。 可以在FDTD中模拟铜等导体,但由于铜材料中的场计算方程比完美导体的方程复杂,因此计算时间会更长。 当然,对于仅将一小部分FDTD单元定义为导体的情况,执行时间的差异将难以察觉。

与频率无关的介电材料和磁性材料是由其相对介电常数和导电性的本构参数或磁性材料的相对渗透性和导电性来定义的。 在许多情况下,即使在进行宽带计算时,这些材料也是合适的,因为参数在频率范围内不会发生显着变化。

在某些情况下,与频率无关的材料是不合适的,而应以与频率相关或分散的材料取而代之。 频率依赖材料的一些常见示例是高含水量材料,例如人体组织,在光学频率下被激发的金属以及宽频带上的介质。 XFdtd中包括模拟电子和磁性Debye和Drude材料的能力,如等离子体,洛伦兹材料和各向异性磁性铁氧体,以及频率无关的各向异性电介质。 这些材料可能具有在某些频率下为负的介电常数或渗透率,使其有效地在宏观上模拟超材料。 FDTD在模拟非线性材料方面也特别有效,XFdtd中包含了一些非线性材料。

近区与远区

对于任何给定的计算,被模拟结构的几何形状是通过将单元格边缘设置在特定的位置到特定的材料来定义的。 整个FDTD几何空间,通常称为网络或网格,由这些单元的三维块组成。 就数据存储而言,在FDTD中,该三维体块被认为是近区区域。 通过在XFdtd中保存“近区”点,可以观察FDTD网格中任何边缘处的场值作为时间的函数。 其他类型的数据,如稳态场的大小、特定的吸收速率、s参数或阻抗,也可以存储在网格中的适当点、表面和体积中。

可以制作足够大的FDTD网格,以允许对几何体远场中的点进行采样。 通常,这在计算机存储器和计算时间方面将是非常昂贵的,因为未知数(单元)的数量很可能很大。 注意,每个FDTD单元的最大尺寸为波长的十分之一,因此从结构中移动多个波长将需要大量单元。 在大多数情况下,这不是监测远场结果的适当方法。

将场值转换为远区值以及计算辐射增益或雷达散射模式的一种更实用的方法,是使用转换将FDTD网格中的近区值转换为远离网格的某个位置的远场值。 将几何体封闭在一个盒子中并将这些字段存储在该盒子的外表面上,以此方式来解决一般的远区问题。 盒子的面位于FDTD网格的每个外边缘的五个FDTD单元中。 为使转换有效,FDTD几何体的所有部分必须包含在框内。

XFdtd中使用的极坐标系定义为从x轴参考的方位角(phi)角和从z轴参考的仰角(θ)角,如图6所示。 该坐标系用于定位远区位置和定义入射平面波方向。

图6:  用于远区和入射平面波方向的极坐标系。

宽带和稳态计算

通常,使用FDTD执行宽带计算,因为单个计算可以产生宽范围频率的结果,而不需要额外的计算机资源。 当需要特定频率的数据时,可以通过傅里叶变换从宽带计算中计算稳态数据。

数据与频率的常见示例包括特定频率的天线模式、生物应用(如比吸收率(SAR))、电场和磁场幅度、磁通量、传导电流和“电路”类型信息,如S参数、 群延迟、阻抗、功率、效率等。

在某些偶然情况下可能需要正弦激励,例如避免在感兴趣的频率范围附近但在其范围之外发生强共振。

外辐射边界

三维网格单元形成FDTD几何形状,并且在每个单元位置处更新的字段依赖于相邻字段。 但是,由于内存限制,网格必须在某个点结束,因此网格外部边缘上的字段无法正确更新。 为了纠正这种情况,在FDTD网格的边缘处应用外部辐射边界条件。

外辐射边界是用于吸收从FDTD网格向边界传播的场的方法。 通过吸收这些字段,网格似乎可以无限扩展。 外边界的性能是FDTD计算精度的重要因素,应注意正确使用它们。

在某些情况下,优选反射边界而不是吸收边界。 可以使用完美导电边界(电或磁)来对FDTD计算中的场进行成像,以利用问题对称性。 周期性边界条件对于模拟大对称几何形状的单个单元格是有用的。

计算机资源

FDTD是一种计算密集型方法,最合理的计算将需要一台快速计算机和至少几千兆字节的计算机内存。 对于大多数应用程序,估计计算所需的计算机内存非常简单。 内存使用的最重要因素,在很大程度上是运行时间,是用于表示被测结构的FDTD单元的数量。 每个FDTD单元具有与其相关联的六个场值:三个电场和三个磁场。 此外,每个单元格有6个与之关联的标志,以指示6个字段位置中每个位置上的材料类型。 字段值是实数,每个字段长度为四个字节,而每个标志是一个字节。 这给出了每个FDTD单元的存储器使用量,对于字段为24字节,对于标志为6个字节,总共30个字节。 要估算所需的总存储器(以字节为单位),只需将FDTD单元的数量乘以每单元30个字节的值。 计算中有一些开销,但通常很小。 一个值得注意的例外是宽带远区角,每个方向分配6个一维实数值阵列。

由于计算机处理器的性能不同,估计FDTD计算的执行时间更加复杂。 一种估计方法是计算要执行的操作的总数。 在FDTD计算期间,每个单元、每个时间步骤大约有80个操作。 总操作数是由单元格数、时间步长和每个单元格、每个时间步长80个操作的因子的乘积得出的。 如果已知处理器的浮点性能值,则可以计算执行时间值。 通常,更好的估计方法是确定给定计算机上的简单问题的执行时间,然后通过所需计算与简单计算之间的操作次数的比率来计算时间。

有许多方法可以提高FDTD的计算速度,但有些方法需要大量的编程工作。 一些最有效的方法是并行使用计算机的多个CPU,并行使用多个计算机,优化缓存的计算循环,或者利用CPU上的并行方法,如SSE和AVX。FDTD软件特别适合在GPU处理器上进行计算,因为关于许多单元并行执行相对少更新算法的概念非常适合采用为更新视频显示器而开发的方法。

参考

  1. C95.3.2002,“关于人体暴露于射频电磁场的测量和计算的推荐方法,100kHz至300GHz,”IEEE标准和协调委员会28关于非电离辐射危害,2002年4月。
  2. K. S. Kunz和R. J. Luebbers,“电磁学的有限差分时域方法”,佛罗里达州博卡拉顿: CRC出版社,1993年。

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